Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép Toán vectơ

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép Toán vectơ

1. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ như trong Hình 2.47b. Với hệ trục toạ độ thể hiện như Hình 2.47 b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm ′ và ′ có toạ độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không 3
2. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO HĐ1. Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = (1; 0; 5) và = (1; 3; 9). a) Biểu diễn hai vectơ Ԧ và qua các vectơ đơn vị 푖Ԧ, 푗Ԧ, . b) Biểu diễn hai vectơ Ԧ + và 2 Ԧ qua các vectơ đơn vị 푖Ԧ, 푗Ԧ, , từ đó xác định toạ độ của hai 3 vectơ đó. Lời giải a) Ԧ = (1; 0; 5) ⟺ Ԧ = 푖Ԧ + 5 = (1; 3; 9) ⟺ = 푖Ԧ + 3푗Ԧ + 9 b) Ԧ + = 푖Ԧ + 5 + 푖Ԧ + 3푗Ԧ + 9 = 2푖Ԧ + 3푗Ԧ + 13 ⇒ Ԧ + = (2; 3; 13) 2 Ԧ = 2(푖Ԧ + 5 ) = 2푖Ԧ + 10 ⇒ 2 Ԧ = (2; 0; 10)
3. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO a) Ԧ = (1; 0; 5) ⟺ Ԧ = 푖Ԧ + 5 3 = (1; 3; 9) ⟺ = 푖Ԧ + 3푗Ԧ + 9 b) Ԧ + = 푖Ԧ + 5 + 푖Ԧ + 3푗Ԧ + 9 = 2푖Ԧ + 3푗Ԧ + 13 ⇒ Ԧ + = (2; 3; 13) 2 Ԧ = 2(푖Ԧ + 5 ) = 2푖Ԧ + 10 ⇒ 2 Ԧ = (2; 0; 10) 3 Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . Ta có: - Ԧ + = + ′; + ′; + ′ - Ԧ − = − ′; − ′; − ′ - Ԧ = ( ; ; ) với là một số thực. ? Nếu toạ độ của vectơ Ԧ là ( ; , ) thì toạ độ của vectơ đối của Ԧ là gì? Vecto đối của Ԧ là − Ԧ có tọa độ là (− ; − , − )
4. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . Ta có: - Ԧ + = + ′; + ′; + ′ - Ԧ − = − ′; − ′; − ′ - Ԧ = ( ; ; ) với là một số thực. 3 Nhận xét. Vectơ Ԧ = ( ; ; ) cùng phương với vectơ = ′; ′; ′ ≠ 0 khi và chỉ khi tồn tại số thực = ′ sao cho ቐ = ′ 3 = ′
5. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Lời giải Trong không gian , cho hai a) Ԧ = (2; 1; 5) và = (2; 2; 1) vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . - Ԧ + = + ′; + ′; + ′ ⇒ Ԧ − = (2 − 2; 1 − 2; 5 − 1) = (0; −1; 4) - Ԧ − = − ′; − ′; − ′ b) Ta có 3 Ԧ = (3 ⋅ 2; 3 ⋅ 1; 3 ⋅ 5) = (6; 3; 15) - Ԧ = ( ; ; ) với là một 3 số thực. 2 = (2 ⋅ 2; 2 ⋅ 2; 2 ⋅ 1) = (4; 4; 2) ⇒ 3 Ԧ + 2 = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) Ví dụ 1. Trong không gian , cho = (10; 7; 17) hai vectơ Ԧ = (2; 1; 5) và = (2; 2; 1). Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau: a) Ԧ − ; b) 3 Ԧ + 2 .
6. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Luyện tập 1. Trong không gian , cho ba vectơ = (1; 8; 6), 푣Ԧ = (−1; 3; −2) và 푤 = (0; 5; 4). Tìm toạ độ của vectơ − 2푣Ԧ + 푤. Lời giải = (1; 8; 6) 3 푣Ԧ = (−1; 3; −2) ⇒ 2푣Ԧ = (2 ⋅ (−1); 2 ⋅ 3; 2 ⋅ (−2)) = (−2; 6; −4) 푤 = (0; 5; 4) ⇒ + 2푣Ԧ + 푤 = (3; 7; 14)
7. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO HĐ2. Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác Trong không gian , cho tam giác có ; ; , ; ; và ; ; . a) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm toạ độ của theo toạ độ của và . b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm toạ độ của theo toạ độ của , và . Lời giải 3 a) Ta có = ; ; , = ; ; , = ; ; 3 ⇒ + = + ; + ; + 1 + + + ⇒ + = ; ; 2 2 2 2 1 + + + + + + = + ⇒ = ; ; ⇒ ; ; 2 2 2 2 2 2 2
8. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO HĐ2. Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác Trong không gian , cho tam giác có ; ; , ; ; và ; ; . a) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm toạ độ của theo toạ độ của và . b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm toạ độ của theo toạ độ của , và . Lời giải 3 b) Ta có = ; ; , = ; ; , = ; ; ⇒ + + = + + ; + + ; + + 1 + + + + + + ⇒ + + = ; ; 3 3 3 3 1 + + + + + + = + + ⇒ = ; ; 3 3 3 3 + + + + + + ⇒ ; ; 3 3 3
9. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hang ; ; , ; ; và ; ; . Khi đó: + + + - Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng là ; ; 3 2 2 2 + + + + + + - Toạ độ trọng tâm của tam giác là ; ; 3 3 3
10. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Ví dụ 2. Trong không gian , cho ba điểm (1; 2; 3), (3; 2; 1) và (2; −1; 5). Tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm của tam giác Lời giải + + + - Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng là ; ; 32 2 2 1 + 3 2 + 2 3 + 1 Gọi là trung điểm của đoạn thẳng ⇒ ; ; ⇒ (2; 2; 2) 3 2 2 2 + + + + + + - Toạ độ trọng tâm của tam giác là ; ; 3 3 3 1 + 3 + 2 2 + 2 + (−1) 3 + 1 + 5 Gọi là trọng tâm của tam giác ⇒ ; ; ⇒ (2; 1; 3) 3 3 3
11. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTO, PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Luyện tập 2. Trong không gian , cho ba điểm (2; 9; −1), (9; 4; 5) và (3; 0; 4). Tìm toạ độ điểm sao cho tam giác nhận là trọng tâm. Lời giải Giả sử ; ; 3 3 + + = 3 = 3 − − + + Vì là trọng tâm tam giác ⇒ = ⇒ ቐ = 3 − − 3 = 3 − − + + = 3 = −2 ⇒ ቐ = −13 ⇒ −1; −13; 8 = 8
12. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HĐ3. Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . a) Giải thích vì sao 푖Ԧ ⋅ 푖Ԧ = 1 và 푖Ԧ ⋅ 푗Ԧ = 푖Ԧ ⋅ = 0. b) Sử dụng biểu diễn Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + để tính các tích vô hướng Ԧ ⋅ 푖Ԧ, Ԧ ⋅ 푗Ԧ và Ԧ ⋅ . c) Sử dụng biểu diễn = ′푖Ԧ + ′푗Ԧ + ′ để tính3 tích vô hướng Ԧ ⋅ . Lời giải a) 푖Ԧ ⋅ 푖Ԧ = 푖Ԧ2 = 푖Ԧ2 = 1 3 Vì 푖Ԧ ⊥ 푗Ԧ, 푖Ԧ ⊥ ⇒ 푖Ԧ ⋅ 푗Ԧ = 푖Ԧ ⋅ = 0 b) Ԧ. 푖Ԧ = ቀ 푖Ԧ + 푗Ԧ = . 푖Ԧ2 + . 푗Ԧ. 푖Ԧ + . . 푖Ԧ = Ԧ. 푗Ԧ= +푖Ԧ + ቁ푗Ԧ푖Ԧ+ 푗Ԧ= . 푖Ԧ. 푗Ԧ + . 푗Ԧ2 + . . 푗Ԧ= Ԧ. = ቀ 푖Ԧ + 푗Ԧ = . 푖Ԧ. + . 푗Ԧ. + 2 = + ቁ
13. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HĐ3. Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . a) Giải thích vì sao 푖Ԧ ⋅ 푖Ԧ = 1 và 푖Ԧ ⋅ 푗Ԧ = 푖Ԧ ⋅ = 0. b) Sử dụng biểu diễn Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + để tính các tích vô hướng Ԧ ⋅ 푖Ԧ, Ԧ ⋅ 푗Ԧ và Ԧ ⋅ . c) Sử dụng biểu diễn = ′푖Ԧ + ′푗Ԧ + ′ để tính3 tích vô hướng Ԧ ⋅ . Lời giải 3 c) Ԧ. = 푖Ԧ + 푗Ԧ + ⋅ ′푖Ԧ + ′푗Ԧ + ′ = ⋅ ′푖Ԧ2 + ⋅ ′ ⋅ 푗Ԧ2 + ⋅ ′ 2 + ⋅ ′ + ′ 푖Ԧ ⋅ 푗Ԧ + ⋅ ′ + ′ 푖Ԧ + ′ + ⋅ ′ ⋅ 푗Ԧ = ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅ ′
14. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ được xác định bởi công thức: Ԧ ⋅ = ′ + ′ + ′ Nhận xét - Hai vectơ Ԧ và vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu ′ + ′ + ′ = 0. - Nếu Ԧ = ( ; ; ) thì | Ԧ| = Ԧ ⋅ Ԧ = 2 +3 2 + 2. 3 - Nếu Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ là hai vectơ khác 0 thì Ԧ ⋅ ′ + ′ + ′ cos Ԧ = = Ԧ ⋅ 2 + 2 + 2 ⋅ ′2 + ′2 + ′2
15. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 3. Trong không gian , cho hai vectơ Ԧ = (1; 4; 2) và = (−4; 1; 0). a) Tính Ԧ ⋅ và cho biết hai vectơ Ԧ và có vuông góc với nhau hay không. b) Tính độ dài của vectơ Ԧ. Lời giải 3 a) Ԧ ⋅ = 1 ⋅ (−4) + 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 0 ⇒ Ԧ ⊥3 b) | Ԧ| = 12 + 42 + 22 = 21 Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, tính ( Ԧ + )2 Lời giải ( Ԧ + )2 = ( Ԧ + ) ( Ԧ + ) Ԧ + = (−3; 5; 2) ⇒ ( Ԧ + ) ( Ԧ + ) = −3. −3 + 5.5 + 2.2 = 38
16. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 4. Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật và 푆 vuông góc với mặt phẳng ( ). Giả sử 푆 = 2, = 3, = 4. Xét hệ toạ độ với trùng và các tia , , lần lượt trùng với các tia , , 푆 a) Xác định toạ độ của các điểm 푆, , , , . b) Tính và 푆 . c) Tính ( , 푆 ). Lời giải a) Vì trùng3 gốc toạ độ nên (0; 0; 0) S Vì thuộc tia và = 3 ⇒ (3; 0; 0) Vì thuộc tia và = 4 ⇒ (0; 4; 0) 2 Vì 푆 thuộc tia và 푆 = 2 ⇒ 푆(0; 0; 2) A 4 D Vì hình chiếu của lên các trục , , lần 3 3 lượt là , , ⇒ (3; 4; 0) B C
17. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 4. Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật và 푆 vuông góc với mặt phẳng ( ). Giả sử 푆 = 2, = 3, = 4. Xét hệ toạ độ với trùng và các tia , , lần lượt trùng với các tia , , 푆 a) Xác định toạ độ của các điểm 푆, , , , . b) Tính và 푆 . c) Tính ( , 푆 ). Lời giải 3 S b) Ta có = (0 − 3; 4 − 0; 0 − 0) = (−3; 4; 0) ⇒ = = (−3)2 + 42 + 02 = 5 2 Ta có 푆 = (3 − 0; 4 − 0; 0 − 2) = (3; 4; −2) A 4 D ⇒ 푆 = |푆 | = 32 + 42 + (−2)2 = 29 3 3 B C
18. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 4. Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật và 푆 vuông góc với mặt phẳng ( ). Giả sử 푆 = 2, = 3, = 4. Xét hệ toạ độ với trùng và các tia , , lần lượt trùng với các tia , , 푆 a) Xác định toạ độ của các điểm 푆, , , , . b) Tính và 푆 . c) Tính ( , 푆 ). Lời giải 3 . 푆 −3.3 + 4.4 + 0. (−2) 7 S cos , 푆 = = = . 푆 5 29 5 29 ⇒ 푆 ≈ 74,9° 2 3 Chú ý. Cho ; ; và ; ; A 4 D = | | = − 2 + − 2 + − 2 3 Đặc biệt, khi trùng ta nhận được công thức B C = 2 + 2 + 2
19. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 4. Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật và 푆 vuông góc với mặt phẳng ( ). Giả sử 푆 = 2, = 3, = 4. Xét hệ toạ độ với trùng và các tia , , lần lượt trùng với các tia , , 푆 a) Xác định toạ độ của các điểm 푆, , , , . b) Tính và 푆 . c) Tính ( , 푆 ). Lời giải 3 . 푆 −3.3 + 4.4 + 0. (−2) 7 S cos , 푆 = = = . 푆 5 29 5 29 ⇒ 푆 ≈ 74,9° 2 3 Chú ý. Cho ; ; và ; ; A 4 D = | | = − 2 + − 2 + − 2 3 Đặc biệt, khi trùng ta nhận được công thức B C = 2 + 2 + 2
20. Bài 8 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Luyện tập 4. Trong không gian , cho (0; 2; 1), (3; −2; 1) và (−2; 5; 7). a) Tính chu vi của tam giác . b) Tính ෣. Lời giải a) Có = 3; −4; 0 ⇒ = 9 + 16 = 5 3 = −2; 3; 6 ⇒ = 4 + 9 + 363 = 7 = −5; 7; 6 ⇒ = 25 + 49 + 36 = 110 Do đó chu vi của tam giác là: 5 + 7 + 110 = 12 + 110 b) Ta có ෣ = , ⋅ 3 ⋅ −2 + −4 ⋅ 3 + 0.6 18 cos , = = = − ⇒ ෣ ≈ 121∘ ⋅ 5.7 35