Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA 3 2 CÁCH TÌM GTLN – VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
2. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất. 3
3. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA y HĐ1. Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 3 nhất của hàm số 2 Cho hàm số = ( ) = 2 − 2 với ∈ [0; 3], có đồ 1 thị như Hình 1.15. a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3]là bao -2 -1 O 1 2 3 33 x nhiêu? Tìm 0 sao cho 0 = . -1 b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm 0 sao cho 0 = . Hình 1.15 Lời giải a) Từ đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là = 3 Với 0 = 3 thì 3 = 3 a) Từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là = −1 Với 0 = 1 thì −1 = −2
4. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA y 3 Cho hàm số = ( ) xác định trên tập . 2 - Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) 1 3 trên tập nếu ( ) ≤ với mọi ∈ và tồn tại 0 ∈ sao cho . 0 = -2 -1 O 1 2 3 x Kí hiệu: = max ∈ ( ) hoặc = max3 ( ). -1 - Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) Hình 1.15 trên tập nếu ( ) ≥ với mọi ∈ và tồn tại 0 ∈ sao cho 0 = . Kí hiệu: = min ∈ ( ) hoặc = min ( ).
5. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số = ( ) xác định trên tập . - Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) trên tập nếu ( ) ≤ với mọi ∈ và tồn tại 0 ∈ sao cho 0 = . Kí hiệu: = max ∈ ( ) hoặc = max ( ). - Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) trên tập nếu ( ) ≥ với 3 mọi ∈ và tồn tại 0 ∈ sao cho 0 = . Kí hiệu: = min ∈ ( ) hoặc = min ( ). Chú ý - Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) (mà không nói "trên tập ") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của ( ) trên tập xác định của hàm số. - Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập để kết luận.
6. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) = 1 − 2. Lời giải Tập xác định của hàm số là [−1; 1]. Cách 1. Sử dụng định nghĩa. 3 - ( ) = 1 − 2 ≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi 1 − 2 = 0 tức là khi = −1 hoặc = 1. Do đó min −1;1 ( ) = (−1) = (1) = 0. - ( ) = 1 − 2 ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi 1 − 2 = 1 tức là khi = 0. Do đó max[−1;1] ( ) = (0) = 1.
7. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) = 1 − 2. Lời giải Tập xác định của hàm số là [−1; 1]. Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên. 1 − 2 ′ 3 Với ∈ (−1; 1) ta có ′ = = − ⇒ ′ = 0 ⇔ = 0 2 1 − 2 1 − 2 Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [−1; 1] Từ bảng biến thiên, ta được: −1 0 1 min[−1;1] ( ) = (−1) = (1) = 0 ′ + 0 − max ( ) = (0) = 1. 1 [−1;1] 3 0 0
8. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số = − 2 + trên khoảng (0; +∞). Lời giải 1 2 − 1 = 1 Ta có: ′ = 1 − = ⇒ ′ = 0 ⇔ 2 − 1 ⟺ ቈ 2 2 = −1 1 3 1 Tính các giới hạn: lim = lim − 2 + = +∞; lim = lim − 2 + = +∞ →0+ →0+ →+∞ →+∞ Lập BBT của hàm số trên khoảng (0; +∞) 0 1 +∞ Từ bảng biến thiên, ta được: ′ − 0 + min(0;+∞) = (1) = 0 +∞ +∞ Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (0; +∞). 0
9. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là3 lớn nhất. Lời giải Gọi ( cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa 0 < < 30 Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh ( cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 − 2 )(cm) và chiều cao bằng ( cm) 3 Thể tích của chiếc hộp này là: = (60 − 2 )2⋅ = 4 3 − 240 2 + 3600 cm3
10. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Thể tích của chiếc hộp này là: = (60 − 2 )2⋅ = 4 3 − 240 2 + 3600 cm3 ′( ) = 12 2 − 480 + 3600 ⇒ ′( ) = 0 = 10 (Thỏa mãn) ⇔ 2 − 40 + 300 = 0 ⟺ ቈ = 30 (Loại3 ) Lập bảng biến thiên: 3 0 10 30 Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn ′( ) + 0 − nhất thì độ dài cạnh của các hình 16000 vuông nhỏ phải cắt là 10 cm. ( ) 0 0
11. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Luyện tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 2 1 a) = 2 − ; b) = − + trên khoảng (1; +∞). −1 Lời giải a) Tập xác định của hàm số là [0; 2] 3 (2 − 2)′ 1 − 3 ′ = = ⇒ ′ = 0 ⟺ 1 − = 0 ⟺ = 1 2 2 − 2 2 − 2 Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 2] Từ bảng biến thiên, ta được: 0 1 2 min[0;2] ( ) = (1) = 1 ′ + 0 − max = 0 = (2) = 0 0 0 0;2 1
12. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 1 ĐỊNH NGHĨA Luyện tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 2 1 a) = 2 − ; b) = − + trên khoảng (1; +∞). −1 Lời giải 1 − 2 + 2 − 2 ′ 2 b) = −1 − = ⇒3 ′ = 0 ⟺ − + 2 − 2 = 0 Vô nghiệm ( − 1)2 ( − 1)2 Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 2] Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số 1 +∞ không có giá trị lớn nhất và giá trị ′ − nhỏ nhất +∞ 3 −∞
13. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN HĐ2. Hình thành các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 2 3 2 Xét hàm số = ( ) = − 2 + 1 trên 1 đoạn [−1; 2], với đồ thị như Hình 1.16. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của3 hàm số -1 O 1 2 trên đoạn [−1; 2]. -1 3 b) Tính đạo hàm ′( ) và tìm các điểm ∈ (−1; 2) -2 mà ′( ) = 0. Hình 1.16 c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn [−1; 2] và tại các điểm đã tìm ở câu . So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với min[−1;2] ( ), số lớn nhất trong các giá trị này với max[−1;2] ( ).
14. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Lời giải Xét hàm số = ( ) = 3 − 2 2 + 1 trên Từ đồ thị hàm số ta thấy đoạn [−1; 2], với đồ thị như Hình 1.16. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất max −1;2 = 1 của hàm số trên đoạn [−1; 2]. min −1;2 = −2 3 3 2 1 -1 O 1 2 -1 -2
15. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Lời giải Xét hàm số = ( ) = 3 − 2 2 + 1 trên a) đoạn [−1; 2], với đồ thị như Hình 1.16. b) Tính đạo hàm ′( ) và tìm các điểm ∈ max −1;2 = 1 , min −1;2 = −2 (−1; 2) mà ′( ) = 0. 3 b) 2 ′( ) = 3 2 − 4 1 ⇒ ′( ) = 0 ⟺ 3 2 −4 = 0 1 2 -1 O = 0 ∈ (1; 2) -1 ⟺ ቎ 4 = ∉ (1; 2) -2 3
16. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Lời giải 3 2 Xét hàm số = ( ) = − 2 + 1 trên a) đoạn [−1; 2], với đồ thị như Hình 1.16. max −1;2 = 1 , min −1;2 = −2 c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút b) của đoạn [−1; 2] và tại các điểm đã 2 3 ′( ) = 3 − 4 ⇒ ′( ) = 0 tìm ở câu . So sánh số nhỏ nhất trong = 0 ∈ (1; 2) các giá trị này với min ( ), số lớn [−1;2] ⟺ 3 2 −4 = 0 ⟺ ቎ 4 nhất trong các giá trị này với = ∉ (1; 2) 3 max[−1;2] ( ). c) 3 −1 = −2 , 2 = 1 , 0 = 1 Ta thấy: max −1;2 = 0 = 2 = 1 , min −1;2 = −1 = −2
17. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Giả sử = ( ) là hàm số liên tục trên [ ; ] và có đạo hàm trên ( ; ), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [ ; ] mà đạo hàm ′( ) bằng 0. Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất3 của hàm số ( ) trên đoạn [ ; ] : 1. Tìm các điểm 1, 2, , 푛 ∈ ( ; ), tại đó ′( ) bằng 0 hoặc không tồn tại. 2. Tính 1 , 2 , , 푛 , ( ) và ( ). 3. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên. Ta có: = max ; = min
18. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = 4 − 4 2 + 3 trên đoạn [0; 4] Lời giải = 0 ∈ 0; 4 3 ′ 3 ′ = 4 − 8 ⇒ = 0 ⇔ 4 − 8 = 0 ⟺ ൦ = − 2 ∉ 0; 4 3 = 2 ∈ 0; 4 0 = 3 4 = 195 2 = −1. Do đó: max[0;4] = (4) = 195 min[0;4] = ( 2) = −1
19. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = 4 − 4 2 + 3 trên đoạn [0; 4] Lời giải = 0 ∈ 0; 4 3 ′ 3 ′ = 4 − 8 ⇒ = 0 ⇔ 4 − 8 = 0 ⟺ ൦ = − 2 ∉ 0; 4 3 = 2 ∈ 0; 4 0 = 3 4 = 195 2 = −1. Do đó: max[0;4] = (4) = 195 min[0;4] = ( 2) = −1
20. Bài 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = sin + cos trên đoạn [0; 2 ] Lời giải y B ′ = cos − sin ⇒ ′ = 0 ⇔ cos − sin = 0 3 = ∈ [0; 2 ] 3 4 ⇔ cos = sin ⟺ 5 5 ′ x = ∈ [0; 2 ] 4 4 4 5 0 = 1 ; 2 = 1; = 2 ; = − 2 4 4 5 Do đó: max = = 2 ; min = = − 2. B′ [0;2 ] 4 [0;2 ] 4