Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 6: Vectơ trong không gian

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 6: Vectơ trong không gian

1. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng3 trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
2. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC3 TƠ TRONG KHÔNG GIAN 3 TÍCH CỦA VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
3. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN HĐ1. Nhận biết vectơ trong không gian Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây? b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một3 mặt phẳng không?
4. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN HĐ1. Nhận biết vectơ trong không gian Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây? b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không? 3 - Vectơ trong không gian là một đoạn 3 thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.
5. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là được kí hiệu là . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí 3 hiệu là Ԧ, , Ԧ, Ԧ, - Độ dài của vectơ được kí hiệu là | |, độ dài của vectơ Ԧ được kí hiệu là Ԧ . Ԧ - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).
6. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN A Ví dụ 1. Cho tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5) a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá 3 nằm trong mặt phẳng ( ) ? B D c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.3 Lời giải a) Có ba vectơ là: , và . C b) Trong ba vectơ , và chỉ có hai vectơ và có giá H.2.5 nằm trong mặt phẳng ( ). c) Vì tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng 1 ⇒ | | = | | = | | = 1
7. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 1. Cho hình lập phương ⋅ ′ ′ ′ ′( . 2.6). Trong các vectơ , , ′ : a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng ( ) ? b) Hai vectơ nào có cùng độ dài? Lời giải B C a) Hai vectơ3 nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng 푙à , A ′ D 3 b) Do và ′ là hai hình vuông bằng nhau B' ⇒ = ′ C' ⇒ = ′ A' D' . 2.6
8. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN A D HĐ2. Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian Cho hình hộp . ′ ′ ′ ′(H. 2.7). B C a) So sánh độ dài của hai vectơ và ′ ′. A' b) Nhận xét về giá của hai vectơ và ′ ′. 3 D' c) Hai vectơ và ′ ′ có cùng phương không? Có cùng hướng không? 3 B' Lời giải H. 2.7 C' ′ ′ ′ ′ a) Do . là hình lập phương c) Hai vectơ và ′ ′ có giá song song ⇒ = ′ ′ Suy ra hai vectơ và ′ ′ cùng phương ⇒ = ′ ′ Từ hình vẽ ta thấy hai vectơ và ′ ′ b) Hai véc tơ và ′ ′ có giá song song cùng hướng
9. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN A D Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá B song song hoặc trùng nhau. C A' - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc D' ngược hướng. 3 - Hai vectơ Ԧ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu Ԧ = , 3 nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. B' C' ? Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không? Ԧ cùng hướng Ԧ = Ԧ = ba véc tơ Ԧ, , Ԧ cùng hướng Giả sử ൝ ⇒ ⇒ ⇒ Ԧ = = Ԧ Ԧ = Ԧ cùng hướng Ԧ = = Ԧ Ԧ =
10. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN A D Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm và vectơ Ԧ cho trước, B C có duy nhất điểm sao cho = Ԧ. A' - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ 3 D' như , , gọi là các vectơ-không. - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và 3 B' vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. C' Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0.
11. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ⋅ ′ ′ ′( . 2.8). a) Trong ba vectơ , ′ và ′ , vectơ nào bằng vectơ ′ ? Giải thích vì sao. b) Gọi là trung điểm của cạnh . Xác định điểm ′ sao cho ′ = ′. Lời giải a) Hai đường thẳng ′ và chéo nhau nên hai A C 3 vectơ ′ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ ′ và không bằng nhau. Tứ giác ′ ′ là hình bình hành nên ′// ′ B 3 và ′ = ′. A' C' Hai vectơ ′ và ′ có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau. Tương tự, hai vectơ ′ và ′ có cùng độ dài và ngược . 2.8 hướng nên hai vectơ và không bằng nhau. B' ′ ′
12. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ⋅ ′ ′ ′( . 2.8). a) Trong ba vectơ , ′ và ′ , vectơ nào bằng vectơ ′ ? Giải thích vì sao. b) Gọi là trung điểm của cạnh . Xác định điểm ′ sao cho ′ = ′. Lời giải A b) Gọi ′ là trung điểm của cạnh ′ ′. C 3 ′// ′ M Vì tứ giác ′ ′ là hình bình hành nên: ′ = ′ ′// ′ Hình lăng trụ . ′ ′ ′ có: 3 B ′ = ′ A' C' Hai vectơ ′ và ′ có cùng độ dài và cùng hướng ⇒ ′ = ′ M' Vậy trung điểm của cạnh ′ ′ là điểm ′ cần tìm B'
13. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 2. Cho hình chóp 푆. có đáy là hình bình hành. a) Trong ba vecto 푆 , và , vectơ nào bằng vectơ ? b) Gọi là một điểm thuộc cạnh . Xác định điểm sao cho = . Lời giải a) Do là hình bình hành S 3 ⇒ = ⇒ = ⇒ = cùng hướng 3 b) Kẻ // cắt tại khi đó = A B N = ⇒ = M ⇒ = cùng hướng D C
14. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Vận dụng 1. Một toà nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của toà thang máy trong hai lần di chuyển đó có nhà, sau đó di chuyển tử tầng 22 lên tầng bằng nhau 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của 3 Giả sử Ԧ là vectơ biểu diễn độ dịch thang máy trong hai lần di chuyển đó có chuyển từ tầng 15 lên tầng 22, là vectơ bằng nhau không? Giải thích vì sao. biểu diễn độ dịch chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 ta có + Ԧ và là hai vecto cùng hướng vì cùng hướng từ dưới lên trên + Vì các tầng có chiều cao bằng nhau nên Ԧ =
15. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ a) Tổng của hai véc tơ trong không gian HĐ3. Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ Ԧ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ = Ԧ, = . Lấy điểm ′ khác và vẽ các vectơ ′ ′ = Ԧ, ′ ′ = ( . 2.10). a) Giải thích vì sao ′ = ′ và ′ = ′. 3 b) Giải thích vì sao ′ ′ là hình bình hành, từ đó suy ra = ′ ′. Lời giải ′ a) = Ԧ = ′ C' ⇒ ′ C ′ ′ = Ԧ // ′ ′ 3 ⇒ ′ là hình bình hành B B' ′ = ′ ⇒ ⇒ ′ = ′ Ԧ ′ // ′ A A' Chứng minh tương tự ta được ′ = ′
16. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ a) Tổng của hai véc tơ trong không gian HĐ3. Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ Ԧ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ = Ԧ, = . Lấy điểm ′ khác và vẽ các vectơ ′ ′ = Ԧ, ′ ′ = ( . 2.10). a) Giải thích vì sao ′ = ′ và ′ = ′. 3 b) Giải thích vì sao ′ ′ là hình bình hành, từ đó suy ra = ′ ′. Lời giải b) Theo chứng minh ở ý a ta có ′ ′ ′ C C' và ′ là hai hbh bằng nhau ′ = ′ 3 ⇒ ⇒ ′ = ′ B ′ // ′ B' Do đó ′ ′ là hình bình hành Ԧ = ′ ′ A A' ⇒ ⇒ = ′ ′ // ′ ′
17. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ a) Tổng của hai véc tơ trong không gian HĐ3. Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ Ԧ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các vectơ = Ԧ, = . Lấy điểm ′ khác và vẽ các vectơ ′ ′ = Ԧ, ′ ′ = ( . 2.10). 3 a) Giải thích vì sao ′ = ′ và ′ = ′. b) Giải thích vì sao ′ ′ là hình bình hành, từ đó suy ra = ′ ′. C C' B 3 B' Ԧ A A'
18. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ a) Tổng của hai véc tơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ Ԧ và . Lấy một điểm C bất kì và các điểm , sao cho = Ԧ, = . Khi đó, vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ԧ và , kí 3 hiệu là Ԧ + B 3 Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi Ԧ Ԧ là phép cộng vectơ. A Nhận xét Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: - Nếu , , là ba điểm bất kì thì + = - Nếu là hình bình hành thì + = .
19. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ Ví dụ 3. Cho hình lập phương ⋅ ′ ′ ′ ′ có độ dài mỗi cạnh bằng 1( , 2.12). Tính độ dài của vectơ + ′. Lời giải A D Tứ giác là hình vuông nên = . Do đó 3 + ′ = + ′ = ′. B C Tứ giác ′ ′ là hình vuông A' D' ⇒ ′ = 2 + ′2 = 2 3 ⇒ + ′ = 2. B' , 2.12 C'
20. Bài 6 VECTO TRONG KHÔNG GIAN 2 TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ + ′ ′. Lời giải A D Tứ giác ′ ′ là hình bình hành nên = ′ ′ Do đó + ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ = ′ ′ 3 B C ⇒ + ′ ′ = ′ ′ = 1 A' D' 3 B' C'