Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 7: Hệ trục tọa độ trong không gian

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 7: Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Bài 7 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ3 CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Bài 7 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 3 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?
3. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HĐ1. Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục , , có chung gốc và đôi một vuông góc với nhau. Gọi 푖Ԧ, 푗Ԧ, là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35). a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35. 3 퐽Ԧ b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi3 một vuông 푖Ԧ góc với nhau không? Lời giải b) ⊥ a) Các mặt phẳng toạ độ là: ⇒ ⊥ ( ) ⊥ ⇒ ( ) ⊥ ( ) ⊂ ( ) , ( ) , ( ) Chứng minh tương tự ta có: ( ) ⊥ ( ) ( ) ⊥ ( )
4. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, ba trục , , đôi một vuông góc với nhau tại gốc của mỗi trục. Gọi 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục , , . - Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc , hay đơn giản là hệ toạ độ . 퐽Ԧ 3 푖Ԧ - Điểm được gọi là gốc toạ độ. - Các mặt phẳng ( ), ( ), ( ) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ còn được gọi là không gian . 3
5. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ? Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó. 퐽Ԧ 3 푖Ԧ
6. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1. Cho hình lập phương ⋅ ′ ′ ′ ′ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ có gốc trùng với đỉnh ′ và các vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần lượt là các vectơ ′ ′, ′ ′, ′ không? Giải thích vì sao. Lời giải Hình lập phương ⋅ ′ ′ ′ ′ có các cạnh B C ′ ′, ′ 3′ và ′ đôi một vuông góc với nhau. Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 A D nên các vectơ ′ ′, ′ ′, ′ cùng có điểm đầu 퐽Ԧ là ′ và đều có độ dài bằng 1 . B' C' Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ 푖Ԧ 3 có gốc trùng với đỉnh ′ và các vectơ A' 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần lượt là các vectơ ′ ′, , ′ ′, ′ . D'
7. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 1. Cho hình hộp chữ nhật ⋅ ′ ′ ′ ′. Có thể lập một hệ toạ độ có gốc trùng với đỉnh và các vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần lượt cùng hướng với các vectơ , , ′ không? Giải thích vì sao. Lời giải z Có thể lập một hệ toạ độ có gốc trùng C' B' với đỉnh3 và các vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần lượt cùng 3 A' hướng với các vectơ , , ′ vì D' + Ba vectơ , , ′ đôi một vuông góc và cắt nhau tại điểm C O B y + Chọn trùng với đỉnh các vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ, lần C 퐽Ԧ 푖Ԧ lượt cùng hướng với các vectơ , , ′ vì ba D A vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ, đôi một vuông góc x
8. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN z Lời giải C E HĐ2. Hình thành khái niệm toạ độ M của điểm trong không gian Trong F không gian , cho một điểm không thuộc các mặt phẳng toạ độ. O B Vẽ hình hộp chữ nhật . 퐹 3 퐽Ԧ y có ba đỉnh , , lần lượt thuộc các 푖Ԧ 3 tia , , (H2.37). A D a) Hai vectơ và + + x có bằng nhau hay không? a) Theo quy tắc hình hộp = + + b) Giải thích vì sao có thể viết b) Từ hình vẽ ta thấy vecto 푖Ԧ cùng phương với = 푖Ԧ + 푗Ԧ + với , , là các ⇒ = 푖Ԧ số thực. Tương tự ta có = 푗Ԧ , = ⇒ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + với , , là các số thực.
9. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN z E Người ta chứng minh được rằng với điểm C tuỳ ý, bộ ba số ( ; ; ) trong HĐ2 là duy nhất. M F Trong không gian , cho một điểm tuỳ ý. Bộ ba số ( ; , ) duy O B nhất sao cho = 푖Ԧ + 푗Ԧ + Ԧ 3 푖Ԧ 퐽 y được gọi là toạ độ của điểm đối 3 A với hệ toạ độ . Khi đó, ta viết D = ( ; ; ) hoặc ( ; ; ), trong x đó là hoành độ, là tung độ và là a) Theo quy tắc hình hộp = + + cao độ của . b) Từ hình vẽ ta thấy vecto 푖Ԧ cùng phương với ⇒ = 푖Ԧ ? Hãy tìm toạ độ của gốc . Tương tự ta có = 푗Ԧ , = = 0푖Ԧ + 0푗Ԧ + 0 ⇒ (0; 0; 0) ⇒ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + với , , là các số thực.
10. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2. Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm Lời giải Ta có . 퐹 là hình hộp chữ nhật 3 Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra = 퐹 + + = 3푖Ԧ + 4푗Ԧ + 3 Vì vậy, toạ độ của điểm là (3; 4; 3) 푖Ԧ 푗Ԧ 퐹
11. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 2. Tìm toạ độ của điểm trong Hình 2.39 Lời giải Ta có tọa độ của điểm chính là tọa độ của Tương3 tự như ví dụ 2 ta có = 2푖Ԧ + 5푗Ԧ + 4 Vì vậy, toạ độ của điểm là (2; 5; 4) 푖Ԧ 푗Ԧ 3
12. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 3. Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật ⋅ ′ ′ ′ ′ có đỉnh ′ trùng với gốc và các đỉnh ′, ′, lần lượt thuộc các tia , , (H.2.40). Giả sử đỉnh có toạ độ là (2; 3; 5) đối với hệ toạ độ , hãy tìm toạ độ của các đỉnh ′, ′, đối với hệ toạ độ đó. Lời giải z Vì đỉnh ′ 3thuộc tia nên hai vectơ ′ và 푖Ԧ cùng phương A B Suy ra có số thực sao cho ′ = 푖Ԧ 3 Tương tự, có các số thực 푛, sao cho ′ = 푛푗Ԧ và = C D Theo QT hình hộp = ′ + ′ + Ԧ 퐽 B' = 푖Ԧ + 푛푗Ԧ + ⇒ ( ; 푛; ). Mà (2; 3; 5) ⇒ = 2, 푛 = 3, = 5 푖Ԧ ≡ ′ y D' ⇒ ′ = 2푖Ԧ , ′ = 3푗Ԧ và = 5 . x C' ⇒ ′(2; 0; 0) , ′(0; 3; 0) và (0; 0; 5).
13. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm , và ′. Lời giải z ′(2; 0; 0) , ′(0; 3; 0) , (0; 0; 5), C(2; 3; 5). A B Theo QT hình bình hành = ′ + 3 ′(0;33; 0) ⇒ ′ = (0; 3; 0)= 3푗Ԧ D C (0; 0; 5) ⇒ = (0; 0; 5) = 5 Ԧ 퐽 B' ⇒ = ′ + = 0푖Ԧ + 3푗Ԧ + 5 푖Ԧ y ≡ ′ ⇒ (0; 3; 5) D' x C'
14. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm , và ′. Lời giải z ′(2; 0; 0) , ′(0; 3; 0) , (0; 0; 5), C(2; 3; 5). A B Theo QT hình bình hành = ′ + 3 ′(2;30; 0) ⇒ ′ = (2; 0; 0)= 2푖Ԧ D C (0; 0; 5) ⇒ = (0; 0; 5) = 5 Ԧ 퐽 B' ⇒ = ′ + = 2푖Ԧ + 0푗Ԧ + 5 푖Ԧ y ≡ ′ ⇒ D(2; 0; 5) D' x C'
15. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm , và ′. Lời giải z ′(2; 0; 0) , ′(0; 3; 0) , (0; 0; 5), C(2; 3; 5). A B Theo QT hình bình hành ′ = ′ + ′ D′(2;30; 0) ⇒ ′ = (2; 0; 0)= 2푖Ԧ D C B′(0; 3; 0) ⇒ ′ = (0; 3; 0)= 3푗Ԧ Ԧ 3 퐽 B' ⇒ ′ = ′ + ′ = 2푖Ԧ + 3푗Ԧ + 0 푖Ԧ y ≡ ′ ⇒ C′(2; 3; 0) D' x C'
16. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm , và ′. Lời giải z Nhận xét. Nếu điểm có toạ độ ( ; ; ) đối A B với hệ toạ độ thì: 3 - Hình chiếu vuông góc của trên các trục 3 , và có toạ độ lần lượt là ( ; 0; 0), D C (0; ; 0) và (0; 0; ). Ԧ 퐽 B' - Hình chiếu vuông góc của trên các mặt y 푖Ԧ ≡ ′ phẳng ( ), ( ) và ( ) có toạ độ lần D' lượt là ( ; ; 0), (0; ; ) và ( ; 0; ). x C'
17. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, hãy Chọn hệ tọa độ với gốc O trùng với góc chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ nhà như hình vẽ độ của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó. Từ đó dựa vào nhận xét ta tìm được 3 M(1,5; 1; 2)
18. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN HĐ3. Hình thành khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian Trong không gian , cho vectơ Ԧ tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm sao cho = Ԧ và giải thích vì sao có bộ ba số ( ; ; ) sao cho Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + . Lời giải Gọi ′ 3là hình chiếu của lên mặt phẳng ( ) Gọi 1, 2 là hình chiếu của ′ lên hai trục , ) 3 Ԧ Gọi 3 là hình chiếu của lên trục Ԧ = = ′ + 3 = 1 + 2 + 3 = 푖Ԧ + 푗Ԧ + 2 Vậy có bộ ba số ( ; ; ) sao cho Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + 푗Ԧ 3 푖Ԧ 1 Người ta chứng minh được rằng bộ ba ′ số ( ; ; ) là duy nhất.
19. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian , cho vectơ Ԧ tuỳ ý. Bộ ba số ( ; ; ) duy nhất sao cho Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + Ԧ 3 được gọi là toạ độ của vectơ ả đối với hệ toạ độ . Khi đó, ta viết Ԧ = ( ; ; ) hoặc Ԧ( ; ; ). 3 2 Nhận xét 푗Ԧ 3 - Toạ độ của vectơ Ԧ cũng là toạ độ của điểm 푖Ԧ 1 sao cho = Ԧ. ′ - Trong không gian, cho hai vectơ Ԧ = ( ; ; ) và = ′; ′; ′ . = ′ Khi đó, Ԧ = nếu và chỉ nếu ቐ = ′ = ′
20. Bài 6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 4. Trong không gian , hãy tìm toạ độ của các vectơ 푖Ԧ, 푗Ԧ và . Lời giải Vì 푖Ԧ = 1 ⋅ 푖Ԧ + 0 ⋅ 푗Ԧ + 0 ⋅ ⇒ 푖Ԧ = (1; 0; 0) Vì 푗Ԧ = 0 ⋅ 푖Ԧ + 1 ⋅ 푗Ԧ + 0 ⋅ ⇒ 푗Ԧ = (0; 1; 0) 3 3 Ԧ 3 Vì = 0 ⋅ 푖Ԧ + 0 ⋅ 푗Ԧ + 1 ⋅ ⇒ = (0; 0; 1) 2 푗Ԧ 푖Ԧ 1 ′