Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG3 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN BÀI TẬP
2. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau 푡 ngày phân rã được cho bởi hàm số y (푡) = 15푒−0,012푡 3 Khối lượng (푡) thay đổi ra sao khi 푡 → +∞ ? 15 = (푡) Điều này thể hiên trên Hình 1.18 như thế nào? O t Hình 1.18
3. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG HĐ1. Nhận biết đường tiệm cận ngang y (C) 2 +1 Cho hàm số = ( ) = có đồ thị ( ). Với > 0, xét điểm ( ; ( )) thuộc ( ). Gọi là hình chiếu M vuông góc của trên đường thẳng = 2 (H.1.19). = 2 H a) Tính khoảng cách . 3 b) Có nhận xét gì về khoảng cách khi → +∞ ? O x x Hình 1.19 Lời giải a) Khoảng cách = − 2 b) Khi → +∞ thì → 0
4. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG y (C) y y M = 2 = 0 0 H 0 = 0 = ( ) 3 O x x O O x x Hình 1.19 Đường thẳng = 0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi Đường thẳng = 0 là Đường thẳng = là tiệm 0 tắt là tiệm cận ngang) của đồ tiệm cận ngang của đồ thị cận ngang của đồ thị (khi thị hàm số = ( ) nếu (khi → +∞). → −∞ ). lim ( ) = 0 →+∞ hoặc lim ( ) = 0 →−∞
5. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 3 −2 Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = ( ) = . +1 Lời giải 2 3 − 2 3 − Ta có: lim ( ) = lim = lim = 3 →+∞ →+∞ 31 →+∞ + 1 1 + 3 Tương tự, lim ( ) = 3 →−∞ Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm cận ngang là đường thẳng = 3.
6. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 2+1 Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = ( ) = . Lời giải 2 + 1 Nhận xét. Đồ thị hàm số ( ) như Ta có: lim = lim Hình 1.21 →+∞ →+∞ y 2 3 3 + 1 1 2 = lim = lim 1 + 2 = 1 →+∞ 2 →+∞ 1 2 + 1 2 + 1 -2 -1 O 1 2 lim = lim = lim − -1 x →−∞ →−∞ →−∞ 2 -2 1 = lim − 1 + 2 = −1 →−∞ Hình 1.21 Vậy đồ thị hàm số ( ) có hai tiệm cận ngang là = 1 và = −1
7. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 2 −1 Luyện tập 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = ( ) = −1 Lời giải 1 2 − 1 2 − Ta có: lim ( ) = lim = lim = 2 →+∞ →+∞ 3 1 →+∞ − 1 1 − 3 Tương tự, lim ( ) = 2 →−∞ Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm cận ngang là đường thẳng = 2.
8. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau 푡 ngày phân rã được cho bởi hàm số (푡) = 15푒−0,012푡 Khối lượng (푡) thay đổi ra sao khi 푡 → +∞ ? Điều này thể hiên trên Hình 1.18 như thế nào? 3 Lời giải
9. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG HĐ2. Nhận biết đường tiệm cận đứng y Cho hàm số = ( ) = có đồ thị ( ). Với > 1, xét H M −1 điểm ( ; ( )) thuộc ( ). Gọi là hình chiếu vuông góc 1 ( ) = của trên đường thẳng = 1( . 1.22). 3 a) Tính khoảng cách . 3 b) Khi thay đổi trên ( ) sao cho khoảng cách dần O x x đến 0 , có nhận xét gì về tung độ của điểm ? Hình 1.22 Lời giải a) khoảng cách = − 1 b) Khi thay đổi trên ( ) sao cho khoảng cách dần đến 0 khi đó tung độ của điểm là ( ) → +∞
10. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đường thẳng = 0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi y tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số = ( ) nếu H M ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 1 ( ) 3 = lim = +∞ lim = −∞ → + − 0 → 0 lim = −∞ lim = +3∞ + − O x x → 0 → 0 Hình 1.22
11. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀMy SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG y y 0 O x 0 0 3 = = 3 O 0 x a) c) − a) và c). Đường thẳng = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi → 0 ).
12. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀMy SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG y y O 0 x 0 3 3 0 = = = ( ) O 0 x b) d) + b) và d). Đường thẳng = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi → 0 ).
13. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 3 − Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số = ( ) = + 2 Lời giải 3 − lim ( ) = lim = +∞ Đường thẳng = 0 gọi là đường tiệm →−2+ →−2+ + 2 cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của 3 đồ thị hàm số = ( ) nếu ít nhất một 3 − lim ( ) = lim = −∞ trong các điều kiện sau được thoả mãn: →−2− →−2− + 2 lim = +∞ lim = −∞ + → − → 0 0 Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm lim = −∞ lim− = +∞ + → 0 cận đứng là đường thẳng = −2. → 0
14. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 2 + 2 Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số = ( ) = Lời giải 2 + 2 lim ( ) = lim = +∞ Đường thẳng = 0 gọi là đường tiệm →0+ →0+ cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của 3 đồ thị hàm số = ( ) nếu ít nhất một 2 + 2 lim ( ) = lim = −∞ trong các điều kiện sau được thoả mãn: →0− →0− lim = +∞ lim = −∞ + → − → 0 0 Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm lim = −∞ lim− = +∞ + → 0 cận đứng là đường thẳng = 0. → 0
15. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 2 + 1 Luyện tập 2. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số = ( ) = − 4 Lời giải 2 + 1 2 + 2 lim = lim = 2 3 lim ( ) = lim = +∞ →+∞ →+∞ − 4 →4+ →4+ 2 + 1 2 + 2 lim = lim = 2 lim ( ) = lim = −∞ →−∞ →−∞ − 4 →4− →4− Vậy đồ thị hàm số ( ) có hai Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm tiệm cận ngang là = 2 cận đứng là đường thẳng = 4.
16. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Vận dụng 2. Để loại bỏ % một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ 45 ra là ( ) = (triệu đồng), với 0 ≤ < 100 100− Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này. Lời giải 3 45 ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này lim ( ) = lim = −∞ →100+ →100+ 100 − cho ta biết không thể loại bỏ được 100% loài tảo độc khỏi một hồ nước 45 lim ( ) = lim = +∞ →100− →− 100 − Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm cận đứng là đường thẳng = 100.
17. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀMy SỐ 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN HĐ3. Nhận biết đường tiệm cận xiên y ( ) 2 Cho hàm số = ( ) = − 1 + có đồ thị ( ) và 3 +1 M đường thẳng = − 1 như Hình 1.24. H a) Với > −1, xét điểm ( ; ( )) thuộc ( ). Gọi là O x x hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng3 = − 1. Có nhận xét gì về khoảng cách khi → +∞ ? b) Chứng tỏ rằng lim [ ( ) − ( − 1)] = 0. Tính chất →+∞ này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào? Hình 1.24 Lời giải a) Khi → +∞ thì khoảng cách → 0 2 2 b) lim [ ( ) − ( − 1)] = lim [ − 1 + − ( − 1)] = lim = 0 →+∞ →+∞ + 1 →+∞ + 1
18. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN y ( ) y y M H = ( ) O x x 3 = ( ) 3 O 0 x O x Hình 1.24 Đường thẳng = + ( ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số = ( ) nếu Đường thẳng = + Đường thẳng = + lim − + = 0 là tiệm cận xiên của đồ là tiệm cận xiên của đồ →−∞ thị ( ℎ𝑖 → +∞). thị ( ℎ𝑖 → −∞). hoặc lim − + = 0 →+∞
19. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN 1 Ví dụ 5. Cho hàm số = ( ) = + . Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( ). +2 Lời giải 1 lim − = lim = 0 →+∞ →+∞ + 2 3 Tương tự lim [ ( ) − ] = 0 →−∞ Vậy đồ thị hàm số ( ) có tiệm cận xiên là đường thẳng = .
20. Bài 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Chú ý. Ta biết rằng nếu đường thẳng = + ( ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số = ( ) thì lim [ ( ) − ( + )] = 0 hoặc lim [ ( ) − ( + )] = 0. →+∞ →−∞ 1 1 Do đó lim [ ( ) − ( + )] ⋅ = 0 hoặc lim [ ( ) − ( + )] ⋅ = 0. →+∞ →−∞ 3 ( ) ( ) 3 Từ đây suy ra = lim hoặc = lim . →+∞ →−∞ Khi đó, ta có = lim [ ( ) − ] hoặc = lim [ ( ) − ]. →+∞ →−∞ Ngược lại, với và xác định như trên, đường thẳng = + ( ≠ 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số = ( ). Đặc biệt, nếu = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.