Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - Bài 15: Giới hạn của dãy số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - Bài 15: Giới hạn của dãy số

1. CHÀO MỪNG TẤT CẢ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!
2. KHỞI ĐỘNG Nghịch lý Zeno Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là 1, cách vị trí xuất phát 푅1 của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa. Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí 2 = 푅1 trong khoảng thời gian này, rùa đã di chuyển đến vị trí 푅2. Sau đó, Achilles phải đến được vị trí 3 = 푅2, lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí 푅3, Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
3. CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
4. NỘI DUNG BÀI HỌC 01 Giới hạn hữu hạn của dãy số 02 Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số 03 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 04 Giới hạn vô cực của dãy số
5. 01 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
6. HĐ1 Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 −1 푛 Cho dãy số ( ) với = 푛 푛 푛 a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ 푛 đến 0 nhỏ hơn 0,01? Trả lời: a) Năm số hạng đầu của dãy số ( 푛) đã cho là −1 1 −1 2 1 −1 3 1 −1 4 1 −1 5 1 = = 1; = = ; = = − ; = = ; = = − . 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được: 1 3 5 4 2 1 1 1 −1 − − 0 1 1 3 5 4 2
7. HĐ1 Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 −1 푛 Cho dãy số ( ) với = 푛 푛 푛 a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ 푛 đến 0 nhỏ hơn 0,01? Trả lời: −1 푛 1푛 1 b) Khoảng cách từ đến 0 là = = , ∀푛 ∈ ℕ∗. 푛 푛 푛 푛 1 1 1 Ta có: 100 푛 푛 100 Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ 푛 đến 0 nhỏ hơn 0,01.
8. ĐỊNH NGHĨA Dãy số 푛 có giới hạn 0 khi 푛 dần tới dương vô cực nếu 푛 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 푛 = 0. 푛→+∞
9. Ví dụ 1: 1 Xét dãy số ( ) với = . Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0. 푛 푛 푛2 Giải 1 Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì = có thể nhỏ hơn một số dương bé 푛 푛2 tuỳ ý khi 푛 đủ lớn. 1 1 Chẳng hạn, để 10 000 hay n > 100. 푛 푛2 10 000 Như vậy các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.
10. Chú ý Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau: 1 ▪ lim = 0 với k là một số nguyên dương. 푛→+∞ 푛 ▪ lim 푞푛 = 0 nếu 푞 < 1; 푛→+∞ ▪ Nếu 푛 ≤ 푣푛 với mọi 푛 ≥ 1 và lim 푣푛 = 0 thì lim 푛 = 0. 푛→+∞ 푛→+∞
11. LUYỆN TẬP 1 Giải −1 푛−1 Chứng minh rằng Xét dãy số ( ) có = 푛 푛 3푛 Ta có: −1 푛−1 푙푖 푛 = 0 푛→+∞ 3 −1 푛−1 1 1 푛 1 푛 푛 = = = ; 푙푖 = 0 3푛 3푛 3 푛→+∞ 3 −1 푛−1 Do đó, 푙푖 = 0. 푛→+∞ 3푛
12. HĐ2 Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn 푛+ −1 푛 Cho dãy số ( ) với = . Xét dãy số (푣 ) xác định bởi 푣 = − 1. 푛 푛 푛 푛 푛 푛 Tính 푙푖 푣푛 푛→+∞ Trả lời: 푛+ −1 푛 −1 푛 −1 푛 Ta có: 푣 = − 1 = − 1 = 1 + − 1 = 푛 푛 푛 푛 푛 −1 푛 Do đó 푙푖 푣푛 = 푙푖 = 0 푛→+∞ 푛→+∞ 푛
13. ĐỊNH NGHĨA Ta nói dãy số ( 푛) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu 푙푖 ( 푛 − ) = 0, kí hiệu 푛→+∞ 푙푖 푛 = hay 푛 → khi 푛 → +∞. 푛→+∞
14. 2푛+1 Ví dụ 2: Xét dãy số ( 푛) với 푛 = . Chứng minh rằng lim un = 2. 푛 n→+∞ Giải 2푛+1 2푛+1−2푛 1 − 2 = − 2 = = → 0 khi n → +∞ Ta có 푛 푛 푛 푛 Do vậy lim un = 2. n→+∞ Chú ý ▪ 푙푖 푛 = khi và chỉ khi 푙푖 ( 푛 − ) = 0 푛→+∞ 푛→+∞ ▪ Nếu 푛 = (c là hằng số) thì 푙푖 푛 = 푛→+∞
15. LUYỆN TẬP 2 3.2푛−1 Cho dãy số ( 푛) với 푛 = . Chứng minh rằng 푙푖 푛 = 3 2푛 푛→+∞ Giải Ta có: 3.2푛−1 3.2푛−1 −3.2푛 1 − 3 = − 3 = = − → 0 khi 푛 → +∞ 푛 2푛 2푛 2푛 Do vậy 푙푖 푛 = 3. 푛→+∞
16. VẬN DỤNG 1 Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 2 độ cao trước đó. Giả sử rằng 3 quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử 푛 là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ 푛. Chứng minh rằng dãy số 푛 có giới hạn là 0.
17. Giải: 22 Độ cao của quả bóng so với mặt sàn sau lần đầu tiên nảy lên là: u ==5. 5.( )1 1 33 2 2 2 Độ cao so với mặt sàn sau lần thứ hai nảy lên là:u ==(5. ). 5.( )2 2 3 3 3 . .. 2 Độ cao của quả bóng so với mặt sàn sau lần thứ n nảy lên là: u = 5.( )n n 3 2 n Ta có: lim ( )= 0 limun = 0 , suy ra điều phải chứng minh. nn→+ 3 →+
18. II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ. a) Nếu limunn== a ; lim v b thì: nn→+ →+ lim (un+ v n ) = a + b lim ( u n − v n ) = a − b nn→+ →+ uan lim (unn . v )= a . b lim = ( b 0) nn→+ →+ vbn b) Nếu unn 0, và lim uan = thì: n→+ a 0 và lim uan = n→+
19. LUYỆN TẬP
20. Bài 1: Tìm các giới hạn. 21n + a) A= lim ( vd 2) n→+ n nn2 ++1 bB)= lim n→+ 23nn2 + 21n2 + c) C= lim ( lt 3) n→+ n +1 21n + dC)= lim n→+ n2 +1 nn2 ++21 eD)= lim n→+ 2nn3 +− 3 1