Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương I: Hàm số lượng giác và phương trinh lượng giác - Bài 2: Công thức lượng giác

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương I: Hàm số lượng giác và phương trinh lượng giác - Bài 2: Công thức lượng giác

1. CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!
2. KHỞI ĐỘNG Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.
3. CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
4. NỘI DUNG BÀI HỌC 1 Công thức cộng 2 Công thức nhân đôi 3 Công thức biến đổi tích thành tổng 4 Công thức biến đổi tổng thành tích
5. 1. CÔNG THỨC CỘNG
6. HĐ1 a) Cho = ; = , hãy chứng tỏ cos( – ) = cos cos + sin sin 4 6 Giải: 6+ 2 Ta có: − = − = nên 표푠 ( − ) = 표푠 = 4 6 12 12 4 표푠 . 표푠 = 푠푖푛 . 푠푖푛 = 표푠 . 표푠 + 푠푖푛 . 푠푖푛 4 6 4 6 2 3 2 1 6 2 6+ 2 = . + . = + = 2 2 2 2 4 4 4 Vậy cos( – ) = cos cos + sin sin
7. HĐ1 b) Bằng cách viết + = − (− ) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos + Giải: Ta có: cos( + ) = cos[ – (– )] = cos cos(– ) + sin sin(– ) Mà cos(– ) = cos , sin(– ) = – sin (hai góc đối nhau). Do đó cos( + ) = cos cos + sin . (– sin ) = cos cos – sin sin
8. HĐ1 c) Bằng cách viết 푠푖푛 − = 표푠 − − = 표푠 − + và sử 2 2 dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin – . Giải: Ta có: 푠푖푛 − = 표푠 − − = 표푠 − + 2 2 = 표푠 − . 표푠 − 푠푖푛 − . 푠푖푛 2 2 = 푠푖푛 . 표푠 − 표푠 . 푠푖푛 (do cos − = sin ; 푠푖푛 − = 표푠 ). 2 2 Vậy sin( – ) = sin cos – cos sin .
9. KẾT LUẬN cos a − b = cos a cos b + sin a sin b cos a + b = cos a cos b − sin a sin b Công thức: sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a −tan b tan (a − b) = 1+tan a tan b tan a +tan b tan (a + b) = 1−tan a tan b (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).
10. Ví dụ 1 Không dung máy tính, hãy tính: a) cos 75° ; b) 푡 푛 12 Giải ) cos 75° = 표푠 45° + 30° = 표푠45° 표푠30° − 푠푖푛45°푠푖푛30° 2 3 2 1 6 − 2 = . − . = 2 2 2 2 4 2 푡 푛 − 푡 푛 3 4 3 − 1 3 − 1 b) 푡 푛 = 푡 푛 − = = = = 2 − 3 12 3 4 1 + 푡 푛 . 푡 푛 1 + 3 3 − 1 3 4
11. Ví dụ 2 Chứng minh rằng 푠푖푛 + 표푠 = 2푠푖푛 + 4 Giải Ta có: 2 2 2푠푖푛 + = 2 푠푖푛 표푠 + 표푠 푠푖푛 = 2 푠푖푛 . + 표푠 . 4 4 4 2 2 = 푠푖푛 + 표푠 Đẳng thức được chứng minh.
12. LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng: a) 푠푖푛 − 표푠 = 2푠푖푛 − 4 1 −푡 푛 3 b) 푡 푛 − = ≠ + ; ≠ + , ∈ 푍 4 1+ 푡 푛 2 4 Giải a) Ta có: 푃 = 2푠푖푛 − = 2 푠푖푛 표푠 − 표푠 푠푖푛 4 4 4 2 2 = 2푠푖푛 . − 2 표푠 . 2 2 = 푠푖푛 − 표푠 = (đpcm).
13. LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng: a) 푠푖푛 − 표푠 = 2푠푖푛 − 4 1 −푡 푛 3 b) 푡 푛 − = ≠ + ; ≠ + , ∈ 푍 4 1+ 푡 푛 2 4 Giải b) Ta có: 푡 푛 − 푡 푛 4 = 푡 푛 − = = 푃 4 1 + 푡 푛 푡 푛 4 (do 푡 푛 = 1) 4
14. VẬN DỤNG 1 Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Giải Ta có: 푡 = 1 푡 + 2(푡) = 5푠푖푛 푡 + 5 표푠 푡 = 5(푠푖푛 푡 + 표푠 푡 ) Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được: 푠푖푛 푡 + 표푠 푡 = 2(푠푖푛 1 + 4 Do đó, 푡 = 5 2푠푖푛 푡 + 4 Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm = 5 2 và pha ban đầu của sóng âm là 휑 = . 4
15. 2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
16. HĐ2 Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2 ; cos 2 ; tan 2 . Giải • sin 2 = sin + = sin cos + cos sin = sin cos + sin cos = 2 sin cos . • cos 2 = cos( + ) = cos cos – sin sin = cos2 – sin2 Mà sin2 + cos2 = 1, suy ra sin2 = 1 – cos2 và cos2 = 1 – sin2 Do đó, cos 2 = cos2 – sin2 = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2 .
17. HĐ2 Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2 ; cos 2 ; tan 2 . Giải • tan 2 = tan( + ) tan + tan = 1 − tan tan 2 tan = 1 − tan2
18. KẾT LUẬN Công thức nhân đôi 푠푖푛 2 = 2푠푖푛 표푠 표푠 2 = cos2 − sin2 = 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sin2 2푡 푛 푡 푛 2 = 1 − tan2
19. −1 Ví dụ 3 Cho 표푠 = < < . Tính sin2 3 2 Giải Vì 0. 2 2 1 1 8 2 2 Do đó sin = 1 − 표푠2 = 1 − − = 1 − = = 3 9 9 3 2 2 1 4 2 Vậy sin2 = 2sin 표푠 = 2. . − = − 3 3 9
20. Công thức hạ bậc 1 + cos 2a 1 − cos 2a cos2 a = sin2 a = 2 2