Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Bài 7: Cấp số nhân - Năm học 2023-2024 - Nguyễn Thị Phương Thúy

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Bài 7: Cấp số nhân - Năm học 2023-2024 - Nguyễn Thị Phương Thúy

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG BÀI 7. CẤP SỐ NHÂN GIÁO VIÊN DẠY : NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THUÝ LỚP DẠY: 11B4 Hồng Bàng, ngày 20 tháng 10 năm 2023
2. Bài toán 1 Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? 2
3. Bài toán 2 Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% . Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030. 3
4. Bài toán 3 Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm? 4
5. Bài toán 4 (Vua Ấn Độ không đủ thóc để trả cho người phát minh bàn cờ vua) Tục truyền vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ vua được chọn một phần thưởng. người đó xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ: ô thứ nhất 1 hạt thóc, ô thứ 2 hai hạt cứ như vậy số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc của ô trước cho đến ô cuối cùng. Hãy tính số hạt thóc để rải kín các ô bàn cờ? 5
6. Hoạt động 1 Tìm quy luật của hai dãy số trên ? Cho hai dãy số sau: 1, Dãy hữu hạn: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64. 2, Dãy vô hạn: 3, 9, 27, , 3n, 6
7. BÀI 7. CẤP SỐ NHÂN 1. ĐỊNH NGHĨA. Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Cấp số nhân (u n ) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi un= un-1.q, n ≥ 2 7
8. Nhận xét. - Dãy số không đổi là cấp số nhân có công bội q=1 - Để chứng minh dãy số (un) gồm các số khác 0 là một cấp u số nhân, cần chứng minh tỉ số n không đổi. un−1
9. Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = 3 và công bội q =− 2 . Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân này. Ví dụ 2. n Cho dãy số ( u n ) với u n = 2.5 . Chứng minh dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó? 9
10. Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = 3 và công bội q =− 2 . Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân này. Ví dụ 2. n Cho dãy số ( u n ) với u n = 2.5 . Chứng minh dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó? 10
11. Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = 3 và công bội q =− 2 . Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân này. 5 số hạng đầu của cấp số nhân là: 3; -6; 12; -24; 48. 11
12. Ví dụ 2. Cho dãy số với . Chứng minh dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó? n n−1 Ta có u n = 2.5 un−1 = 2.5 n n un 2.5 Xét tỉ số ( u n ) u n = 2.5 (không đổi) ==n−1 5 un−1 2.5 (un ) là Cấp số nhân với số hạng đầu u1 =10 và công bội q = 5. 12
13. Hoạt động 2 Cho CSN với số hạng đầu u 1 và công bội q . a) Tính các số hạng u 2 , u 3 , u 4 , u 5 theo và . (u ) b) Dự đoán côngn thức tính số hạng thứ n theo và . 13
14. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n của nó được xác định bởi công thức n−1 u n = u 1 . q với n 2. 14
15. Ví dụ 3. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = 3 và công bội q =− 2 Tính u . 7 8% Ví dụ 4. Trong một lọ(u nuôin ) cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng thêm mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? 15
16. Lời giải Ví dụ 3. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = 3 và công bội q =− 2 u . Tính 7 u= u. qn−1 Ta có n với1 n 2 (un ) 6 6 u71 = u. q = 3.( − 2) = 192. 16
17. Lời giải Ví dụ 4. Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng thêm mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? Sau 1 giờ, số lượng vi khuẩn là: u 1 = 8%5000 + 5000.8% = 5400(con) Do số lượng vi khuẩn tăng thêm mỗi giờ nên sau n giờ, số lượng vi khuẩn là: u n = u n − 1 + u n − 1 .8% = u n − 1 ( 1 + 8% ) = u n − 1 .1,08 với n 2 Do đó( u n ) là một CSN có số hạng đầu u 1 = 5400 và công bộiq = 1,08 44 u51= u. q = 5400.1,08 7347 Vậy sau 5 giờ số lượng vi khuẩn khoảng 7347 con 17
18. HĐ3. Cho CSN với số hạng đầu và công bội q 1 . Để tính tổng của n số hạng đầu Sn= u1 + u 2 +... u n− 1 + u n , thực hiện các yêu cầu sau: a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo và q để được u1 q biểu thức tính tổngS n chỉ chứau 1 vàq. b) Từ kết quả phần a nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích( u qS n .) n chỉ chứa và . c) Trừ từng vế 2 đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính(1 − qS ) n theou 1 vàq . Từ đó suy ra công thức tính S n. 18
19. 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân ( u n ) với công bội q 1. n uq1 (1− ) Đặt S nn = u 12 + u + ... + u . Khi đó S = . n 1− q Nhận xét. Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì Sn = n.. u1 19
20. Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm? Gọi u n là số tiền lương (triệu đồng) chuyên gia nhận được ở năm làm việc thứ n. Ta có u1 = 240 Do công ty cam kết sẽ tăng thêm 5% mỗi năm so với năm liền trước đó ,nên ta có: u n = u n − 1 + u n − 1 .5% = u n − 1 ( 1 + 5% ) = u n − 1 .1,05 vớin 2 Do đó ( u n ) là một CSN có số hạng đầu u 1 = 240 và công bội q =1,05 10 10 uq1 (1−−) 240( 1 1,05 ) S = = 3019 10 1−−q 1 1,05 Vậy sau 10 năm chuyên gia nhận được khoảng 3 tỉ 19 triệu đồng 20