Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KS VÀ VẼ ĐTHS BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BÀI 2 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 3 BÀI 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN3 CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 4 KS SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐT CỦA HÀM SỐ BÀI 5 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TỰC TIỄN
2. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí 푠(푡) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm 푡 (giây) được cho bởi công thức s 푡 = 푡3 − 9푡2 + 15푡, 푡 > 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái? 3 3 0 s 푡 Hình 1.1
3. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 3 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
4. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số y HĐ1. Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 4 2 Quan sát đồ thị của hàm số = 2 (H.1.2). = 3 3 a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào? 2 1 b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? 3 -3 -2 -1 O 1 2 3 x Hình 1.2 Lời giải a) Hàm số đồng biến trên khoảng 0; +∞ b) Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; 0
5. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số y ( 2) Giả sử 퐾 là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và ( 2) = ( ) là một hàm số xác định trên tập 퐾 3  Hàm số = ( ) được gọi là đồng biến trên 퐾 nếu ( 1) ∀ , ∈ 퐾, < ⇒ ( ) < ( ). 1 2 1 2 1 2 ( 1) 3  Hàm số = ( ) được gọi là nghịch biến trên 퐾 nếu 2 1 O 1 ∀ 1, 2 ∈ 퐾, 1 ( 2). 2 x − 2
6. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số y Chú ý y = ( ) = ( ) 3 O a b x O a b x 3  Nếu hàm số đồng biến trên 퐾 thì đồ thị đi lên từ trái sang phải  Nếu hàm số nghịch biến trên 퐾 thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải  Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên 퐾 còn được gọi chung là đơn điệu trên 퐾. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số  Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó
7. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị y = của hàm số. Hãy tìm các 3 khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. O x 3 Hình 1.4 Lời giải Tập xác định của hàm số là ℝ Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)
8. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Luyện tập 1. Hình 1.5 y 2 là đồ thị của hàm số 3 = 3 − 3 2 + 2. Hãy 1 tìm khoảng đồng biến -2 -1 O 1 2 x nghịch biến của hàm số -1 3 -2 Hình 1.5 Lời giải Tập xác định của hàm số là ℝ Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; 0 và (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
9. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số HĐ2. Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm y − khi < −1 3 Xét hàm số = ቐ 1 khi − 1 ≤ ≤ 1 có đồ thị như Hình 1.6. 2 3 khi > 1 1 a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng 3 −∞; −1 , (1; +∞). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng O -3 -2 -1 1 2 3 x biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này. b) Có nhận xét gì về đạo hàm ′ và hàm số trên khoảng [−1; 1] ? Lời giải ′ + Với ∈ −∞; −1 thì < 0 Hàm số nghịch biến − 1 khi < −1 ′ ′ = ቐ 0 khi − 1 ≤ ≤ 1 + Với ∈ 1; +∞ thì > 0 Hàm số đồng biến 1 khi > 1 + Với ∈ [−1; 1] thì ′ = 0 Hàm số không đổi
10. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số ĐỊNH LÍ Cho hàm số = ( ) xác định trên tập 퐾 a) Nếu ′ > 0, ∀ ∈ 퐾 thì hàm số đồng biến trên khoảng 퐾 b) Nếu ′ < 0, ∀ ∈ 퐾 thì hàm số nghịch biến trên khoảng 퐾 Chú ý 3 3 - Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp ′ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng 퐾. - Người ta chứng minh được rằng, nếu ′ = 0 với mọi ∀ ∈ 퐾 thì hàm số không đổi trên khoảng 퐾.
11. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số = 2 − 4 + 2 Lời giải Tập xác định của hàm số là ℝ 3 ′ Ta có: ′ = 2 − 4 ⇒ = 30 ⇔ 2 − 4 = 0 ⇔ = 2 ′ > 0 Với ∈ 2; +∞ ′ < 0 Với ∈ −∞; 2 Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng 2; +∞ , nghịch biến trên khoảng −∞; 2 .
12. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Luyện tập 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số = − 2 + 2 + 3. Lời giải 3 Tập xác định của hàm số là ℝ Ta có: ′ = −2 + 2 ⇒ ′ =30 ⇔ −2 + 2 = 0 ⇔ = 1 ′ < 0 Với ∈ 1; +∞ ′ > 0 Với ∈ −∞; 1 Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng 1; +∞ , đồng biến trên khoảng −∞; 1 .
13. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Lời giải b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu a) ′ = 3 2 − 6 = 0 của hàm số ′ ⟺ 3 2 − 6 = 0 ⟺ ቈ = 0 = 2 HĐ3. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng b) Lập bảng biến thiên của hàm số biến thiên −∞ 0 2 +∞ Cho hàm số = ( ) = 3 − 3 2 + 1. ′ + 0 − 0 + a) Tính đạo hàm ′( ) và tìm các điểm mà 3 +∞ ′( ) = 0. 1 3 b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng −∞ −3 biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng. c) Hàm số đồng biến trên các khoảng c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch −∞; 0 và 2; +∞ biến của hàm số. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2
14. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Lời giải b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu a) ′ = 3 2 − 6 = 0 của hàm số ′ ⟺ 3 2 − 6 = 0 ⟺ ቈ = 0 = 2 Các bước để xét tính đơn điệu của hàm b) Lập bảng biến thiên của hàm số số 풚 = 풇(풙) : −∞ 0 2 +∞ B1. Tìm tập xác định của hàm số. ′ + 0 − 0 + ′ B2. Tính đạo hàm ( ). 3Tìm các điểm 1 +∞ 3 푖(𝑖 = 1,2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. −∞ −3 B3. Sắp xếp các điểm 푖 theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. c) Hàm số đồng biến trên các khoảng B4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, −∞; 0 và 2; +∞ nghịch biến của hàm số. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2
15. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 2 − 2 + 5 Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số = − 1 Lời giải Tập xác định của hàm số là ℝ\{1} (2 − 2)( − 1) − 2 − 2 + 5 2 ′ − 2 − 3 2 = −1 = 2 = = 0 ⟺ − 2 − 3 = 0 ⟺ ቈ ( − 1) 3 ( − 1)2 = 3 Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: −∞ −1 1 3 +∞ Hàm số đồng biến trên các ′ + 0 − − 0 + khoảng (−∞; −1) và (3; +∞). −4 +∞ +∞ 3 Hàm số nghịch biến trên các −∞ −∞ 4 khoảng (−1; 1) và (1; 3).
16. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ − 2 Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số = + 1 Lời giải Từ bảng biến thiên, ta có: Tập xác định của hàm số là ℝ\{−1}. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( + 1) − ( − 2) 3 (−∞; −1) và (−1; +∞). ′ = = > 0 ∀ ≠ −1 ( + 1)2 ( + 1)2 3 Lập bảng biến thiên của hàm số: −∞ −1 +∞ ′ + + +∞ 3 1 1 −∞
17. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Luvện tập 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 2 1 3 2 − + 5 − 7 a) = + 3 + 5 + 2 b) = 3 − 2 Lời giải a) Tập xác định của hàm số là ℝ Từ bảng biến thiên, ta có: 2 = −1 ′ = + 6 + 5 = 0 ⟺ ቈ 3 = −5 Hàm số đồng biến trên các khoảng Lập bảng biến thiên của hàm số: −∞; −5 và 1−; +∞ −∞ −5 −1 +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng −5; −1 ′ + 0 − 0 + 31 3 +∞ 3 1 − −∞ 3
18. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Luvện tập 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 2 1 3 2 − + 5 − 7 a) = + 3 + 5 + 2 b) = 3 − 2 Lời giải b) Tập xác định của hàm số là ℝ\ 2 (−2 + 5)( − 2) − − 2 + 5 − 7 − 2 + 4 − 3 = 1 ′ = = = 0⟺ − 2 + 4 − 3 ⟺ ቈ ( − 2)2 3 ( − 1)2 = 3 Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: −∞ 1 2 3 +∞ Hàm số nghịch biến trên các ′ − 0 + + 0 − khoảng (−∞; 1) và (3; +∞). +∞ 3 +∞ −1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (2; 3). 3 −∞ −∞
19. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc 푣(푡) là đạo hàm của 푠(푡). Hãy tìm vận tốc 푣(푡). b) Xét dấu của hàm 푣(푡), từ đó suy ra câu trả lời. Lời giải Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, a) 푣 푡 = 푆′(푡) = 3푡2 − 18푡 + 15 chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí 푠(푡) (mét) b) 푣 푡 = 0 ⟺ 3푡2 − 18푡 + 15 = 0 của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm 푡 (giây) được cho bởi công thức s 푡 = 푡3 − 9푡2 + 15푡, 푡 > 0. = 1 3 ⟺ ቈ Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang = 3 phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động −∞ 1 3 +∞ sang trái? 푣 푡 + 0 − 0 + Trong khoảng thời gian t ∈ −∞; 1 ∪ 3; +∞ thì chất điểm chuyển động sang phải Trong khoảng thời gian t ∈ 1; 3 thì chất điểm chuyển động sang trái
20. Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc 푣(푡) là đạo hàm của 푠(푡). Hãy tìm vận tốc 푣(푡). b) Xét dấu của hàm 푣(푡), từ đó suy ra câu trả lời. Lời giải Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí 푠(푡) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm 푡 (giây) được 3 2 3 cho bởi công thức s 푡 = 푡 − 9푡 + 15푡, 푡 > 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?