Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác - Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Nội dung tài liệu: Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác - Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1. CHƯƠNG III. HỆCHƯƠNG THỨC LƯỢNG I TRONG TAM GIÁC §5. Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800 §6. Hệ thức lượng trong tam giác Bài tập cuối chương 3
2. CHƯƠNG III. HỆ THỨCCHƯƠNG LƯỢNG I TRONG TAM GIÁC TOÁN ĐẠI SỐ 6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ➉ 1 ĐỊNH LÍ CÔSIN 2 ĐỊNH LÍ SIN 3 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 4 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC 5 BÀI TẬP 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 5
3. Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao? Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội
4. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. • c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân hướng đông nam) thì có thể dùng Định Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, xác các số đo trong câu b hay không? tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • Đối với tam giác 푪 ta thường kí hiệu , , 푪 là các góc của tam giác tại đỉnh • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong tương ứng; , , tương ứng là độ dài 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên của các cạnh đối diện với đỉnh , , 푪; 풑 thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). là nữa chu vi; 푺 là diện tích; 푹, 풓 tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, • b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết nội tiếp tam giác. sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
5. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). • Lời giải 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ. a, Giả sử tàu biển xuất phát từ điểm O như • Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến hình vẽ B với quãng • Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với • đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 quãng đường là: cm trên sơ đồ.
6. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. Lời giải • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tộc và đi tiếp. • a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng dụng với 1 cm trên bản vẽ). • b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm. cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng). Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.
7. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ1. Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với • Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân quãng đường là Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, sơ đồ. tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị nguyên vận tộc và đi tiếp. trí của tàu là điểm B. c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore cách từ cảng đến (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo tàu, chính là đoạn OB (do tam giác trong câu b hay không? OAB vuông tại A) Lời giải dựa vào định lí Pythagore: c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông 푶 = 푶 + . nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:
8. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2. Lời giải • Trong hình 3.8, hãy thực hiện các a) Tam giác vuông 푪푫 : bước sau để thiết lập công thức tính theo , và giá trị lượng giác của góc = 푫 + 푪푫 . . b) 푫 = − 푫 và a) Tính theo 푫 và 푪푫 . 푪푫 = 푫 + = 푫 + . 푫. + b) Tính theo , và 푫 . ⇒ = − 푫 + 푫 + c) Tính 푫 theo và 풐풔 . = + + . 푫. d) Chứng minh = + − 풐풔 . c) Tam giác 푫vuông tại có : 푫 풐풔 = ⇒ 푫 = . 풐풔 d) Theo câu b) ta có : = + + . 푫. = + + . . 풐풔
9. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2. d) Theo câu b) ta có : • Trong hình 3.8, hãy thực hiện các = + + . 푫. = + + . . 풐풔 bước sau để thiết lập công thức tính theo , và giá trị lượng giác • Chú ý. Người ta chứng minh được kết quả trong của góc . HĐ2d đối với cả các trường hợp góc là góc vuông hoặc nhọn. a) Tính theo 푫 và 푪푫 . Định lí côsin. Trong tam giác 푪: b) Tính theo , và 푫 . = + − 풐풔 , c) Tính 푫 theo và 풐풔 . = + − 풐풔 , d) CM: = + − 풐풔 . = + − 풐풔 푪. • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không? Lời giải • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin bởi vì: • Khi መ = 900 ⇒ 표푠 = 0: 2 = 2 + 2 − 2 표푠 ⇔ 2 = 2 + 2. • Khi ෠ = 900 ⇒ 표푠 = 0: 2 = 2 + 2 − 2 표푠 ⇔ 2 = 2 + 2. • Khi መ = 900 ⇒ 표푠 = 0: 2 = 2 + 2 − 2 표푠 ⇔ 2 = 2 + 2.
10. • Chú ý. Người ta chứng minh được kết quả trong 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN HĐ2d đối với cả các trường hợp góc là góc vuông HĐ2. hoặc nhọn. Định lí côsin. Trong tam giác 푪: • Trong hình 3.8, hãy thực hiện = + − 풐풔 , các bước sau để thiết lập công = + − 풐풔 , thức tính theo , và giá trị = + − 풐풔 푪. lượng giác của góc . • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt a) Tính theo 푫 và 푪푫 . của Định lí côsin hay không? b) Tính theo , và 푫 . Lời giải c) Tính 푫 theo và 풐풔 . • Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin bởi vì: Khi ෡ = ⇒ 풐풔 = : d) CM: = + − 풐풔 . = + − 풐풔 ⇔ = + . • Khi ෡ = ⇒ 풐풔 = : = + − 풐풔 ⇔ = + . • Khi 푪෡ = ⇒ 풐풔 푪 = : = + − 풐풔 푪 ⇔ = + .
11. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Ví dụ 1. Khám phá. Từ Định lí côsin, hãy viết các công thức tính 풐풔 , 풐풔 , 풐풔 푪 theo độ Cho tam giác 푪 có ෡ = 풐 và dài các cạnh , , của tam giác 푪. = , 푪 = . Tính độ dài cạnh 푪. Lời giải = + − 풐풔 + − ⇔ 풐풔 = . = + − 풐풔 • Giải (H.3.9) + − ⇔ 풐풔 = . • Áp dụng Định lí côsin cho tam giác 푪, ta có: • 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 풐 = + − 풐풔 푪 = + − . . . − = + − ⇔ 풐풔 푪 = Vậy 푪 = .
12. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN ′ ′′ Luyện tập 1. • 푪෡ ≈ − ퟒ − , • Cho tam giác 푪 có = , 푪 = và ≈ ퟒ ′ , ′′. ෡ = ퟒ 풐. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các • VẽTrải một nghiệm tam giác. 푪, sau đó đo độ dài các góc còn lại của tam giác. cạnh, số đo góc và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin tại đỉnh đối với tam giác đó. • Giải: Áp dụng định lý cosin : • 푪 = + 푪 − . 푪. 풐풔 ퟒ 풐 = + − . . . = − ퟒ ⇒ 푪 = − ퟒ . • Áp dụng định lý cosin : + − − ퟒ + − 풐풔 = = − ퟒ . ≈ − , ⇒ ෡ ≈ ′
13. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Trải nghiệm. Vẽ một tam giác 푪, sau đó đo độ dài các cạnh, số ⇔ 푪 ≈ , ퟒ ⇔ 푪 ≈ , đo góc và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin Như vậy kết quả thu được từ định lí xấp xỉ tại đỉnh đối với tam giác đó. với kết quả đo được. Lời giải Xét tam giác 푪như hình vẽ sau: Vậy định lí côsin tại đỉnh A là đúng. Áp dụng Định lí côsin tại đỉnh A, ta có: 푪 = 푪 + − 푪. . 풐풔 ⇔ 푪 = , + ퟒ, − . , . ퟒ, . 풐풔 , 풐
14. 1. ĐỊNH LÍ CÔSIN Vận dụng 1. Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B. Ta có quảng đường OA=20km, quảng đường • Dùng Định lí côsin, tính khoảng cách được AB=10km. đề cập trong HĐ1b. Khoảng cách giữa tàu và cảng Vân Phong Lời giải chính là quảng đường OB. Mặt khác, 푶 ෣ = 풐(do tàu đi theo hướng đông nam). Áp dụng Định lí côsin cho tam giác OAB tại đỉnh A, ta có: 푶 = 푶 + − 푶 . . 풐풔 푶 ෣ ⇔ 푶 = + − . . . 풐풔 풐 Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo ⇔ 푶 ≈ , ퟒ. thướng Đông với vận tốc 20km/h. Sau khi Vậy khoảng cách từ tài đến cảng Vân Phong đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông xấp xỉ 27,98km. nam rồi giữ nguyên vận tốc.
15. 2. ĐỊNH LÍ SIN Lời giải HĐ3. Xét tam giác MBC vuông tại C ta 푪 có: 풔풊풏 푴 = = ⇒ 푹 = . • Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính 푹 theo và 푴 푹 풔풊풏 푴 풔풊풏 . Từ Hình 3.10 a ta có: ෡ = 푴෡ (cùng chắn cung nhỏ BC). ⇒ 풔풊풏 = 풔풊풏 푴. Do đó 푹 = . 풔풊풏 Hình 3.10 b ta có: ෡ + 푴෡ = 풐 (tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R). ⇒ 풔풊풏 = 풔풊풏 푴. Do đó 푹 = . 풔풊풏 Vậy ở hai hình ta đều có 푹 = . 풔풊풏 Định lí sin. Trong tam giác 푪: = = = 푹. 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏 푪
16. 2. ĐỊNH LÍ SIN Ví dụ 2. ෡ 풐 • Cho tam giác 푪 có = , • Suy ra = . 풔풊풏 = ; 푪෡ = 풐và = . Tính , , 푹 và số đo 풔풊풏 góc . = 풔풊풏 풔풊풏 • Giải ( H.3.11) = ퟒ 풔풊풏 ≃ , ; ෡ 풐 ෡ ෡ • Ta có: = − + 푪 ⇒ 푹 = = . = 풐 − ( 풐 + 풐) = 풐. 풔풊풏 • Áp dụng Định lí sin, ta có: = = = 푹. 풔풊풏 풔풊풏 풔풊풏
17. 2. ĐỊNH LÍ SIN Luyện tập 2. • Cho tam giác 푪 có = , = và ෡ = . 풔풊풏 . 풔풊풏 풐. Tính số đo các góc, bán kính đường 풔풊풏 푪 = = ≃ , ⇒ tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của 푹 = = = ퟒ, tam giác. 풔풊풏 . 풔풊풏 Giải • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪 ta có: = = 푹 풔풊풏 풔풊풏 푪
18. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó gọi là giải tam giác. Ví dụ 3. Giải Giải tam giác 푪, biết = ퟒ và • Ta có 푪෡ = 풐 − ෡ + ෡ 풐 풐 풐 풐 ෡ = 풐, ෡ = ퟒ 풐. = − ( + ퟒ ) = . • Áp dụng Định lí sin ta có: ퟒ = = . 풔풊풏 풔풊풏 ퟒ 풔풊풏 ퟒ.풔풊풏 • Suy ra = , ; 풔풊풏 ퟒ.풔풊풏 ퟒ • = ≃ , ퟒ. 풔풊풏
19. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Luyện tập 3. .풔풊풏 • Giải tam giác 푪, biết = ퟒ , = và • Suy ra 풔풊풏 = ≃ , ෡ = 풐. , ퟒ • Giải ⇒ ≃ ′ . 풐 • Áp dụng Định lí côsin cho tam giác 푪, ta • Ta có 푪෡ = − ෡ + ෡ 풐 풐 풐 có: = − ( ′ + ) = ′. • = + − . 풐풔 • Chú ý. Áp dụng các Định lí côsin, sin và sử = + ퟒ − . . ퟒ . 풐풔 dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác = , trong các trường hợp sau: • Suy ra ≃ , ퟒ. • Biết hai cạnh và góc xen giữa; • Áp dụng Định lí sin cho tam giác 푪, ta có: , ퟒ • Biết ba cạnh; = 풔풊풏 풔풊풏 • Biết một cạnh và hai góc kề.
20. 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Ví dụ 4. • Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp • Trở lại tình huống mở đầu, theo các bước dụng Định lí sin cho tam giác 푪để tính sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị độ dài cạnh 푪. trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa (H.3.12): • Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu yại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB. • Bước 2. Đứng tại vị trí A, ngắm Tháp Rùa và cọc tiêu B để đo gpcs tạo bởi hai hướng ngắm đó. • Bước 3. Đứng tại B, ngắm cọc tiêu A và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.